2017年大学入試センター試験問題

数学Ⅰ

数 学 Ⅰ

第 1 問(配点25)

 

  

 

 

〔1〕

は正の実数で

² +

=9を満たすとする。このとき

 

 

であるから、

である。さらに

 

 

である。

 

 

である。

 

また、

である。

のときは

 

であり、したがって、このとき

 

 

である。


 

〔2〕 実数

に関する2つの条件

 

= 1

² = 1

 

とする。また、条件

の否定をそれぞれ

 

で表す。

 

(1) 次の

に当てはまるものを、下の①~④のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 

であるための

 

であるための

 

(

または

)は

であるための

 

(

かつ

)は

であるための

 

① 必要条件だが十分条件でない

 

② 十分条件だが必要条件でない

 

③ 必要十分条件である

 

④ 必要条件でも十分条件でもない

 

(2) 実数

に関する条件

 

> 0

 

とする。次の

に当てはまるものを下の①~⑧のうちから一つ選べ。

 

3つの命題

 

A : 「 (

かつ

) ⇒

 

B : 「

 

C : 「

 

の真偽について正しいものは

である。

 

① Aは真, Bは真, Cは真

 

② Aは真, Bは真, Cは偽

 

③ Aは真, Bは偽, Cは真

 

④ Aは真, Bは偽, Cは偽

 

⑤ Aは偽, Bは真, Cは真

 

⑥ Aは偽, Bは真, Cは偽

 

⑦ Aは偽, Bは偽, Cは真

 

⑧ Aは偽, Bは偽, Cは偽


 

第 2 問(配点25)

 

は定数とする。

 

(1)

(

) = (

- 3

² - 5

)² - (3

² - 4)²とおく。このとき

 

(

) = (

- 5

-

) (

-

² - 5

+

)

 

である。したがって、2次関数

=

(

)のグラフが原点を通るのは、

の値が小さい方から

 

 

のときである。


 

(2)

(

) =

² - 2(3

² + 5

)

+ 18

⁴ + 30

³ + 49

² + 16 とおく。2次関数

=

(

)のグラフの頂点は

 

(


² +

,

⁴ +

² +

)

 

である。

が実数全体を動くとき、頂点の

座標の最小値は

である。次に、

=

² とおくと、頂点の

座標は

 

² +

+

・・・・・・・・・・①

 

と表せる。したがって、

が実数全体を動くとき、頂点の

座標の最小値は

である。また、上の式①は

 

(

+

 

と変形できる。頂点の

座標が10000以下になる

の値の範囲は

 

 

である。


 

 

第 3 問 (配点 30)

 

△ABCにおいて

とする。

 

(1)

であるから、△ABCの外接円の半径は

であり

 

 

である。ただし、

の解答の順序は問わない。


 

 

(2) 辺AC上に点Dを△ABDの面積が

になるようにとるとき

 

 

であるから、

である。


 

 

(3) 点 C から直線 AB に下ろした垂線と直線 AB との交点を E とすると、

 

であるから

 

 

である。ただし、

の解答の順序は問わない。

 

また

 

であることから、∠ACE =

゜ である。ただし、

の解答の順序は問わない。

 

したがって

である。


 

第 4 問(配点20)

 

スキージャンプは、飛距離および空中姿勢の美しさを競う競技である。選手は斜面を滑り降り、斜面の端から空中に飛び出す。飛距離 D (単位はm)から得点 X が決まり、空中姿勢から得点 Y が決まる。ある大会における58回のジャンプについて考える。

 

(1) 得点 X 得点 Y および飛び出すときの速度 V (単位はkm/h)について、図1の3つの散布図を得た。

 

次の

に当てはまるものを下の①~⑦のうちから一つずつ選べ。 ただし、解答の順序は問わない。

 

図1から読み取れることとして正しいものは、

である。

 

① XV の間の相関は、XY の間の相関より強い。

 

② XY の間には正の相関がある。

 

③ V が最大のジャンプは、X も最大である。

 

④ V が最大のジャンプは、Y も最大である。

 

⑤ Y が最小のジャンプは、X は最小ではない。

 

⑥ X が80以上のジャンプは、すべて V が93以上である。

 

⑦ Y が55以上かつ V が94以上のジャンプはない。


 

 

(2) 得点 X は、飛距離 D から次の計算式によって算出される。

 

X = 1.80 × (D - 125.0) + 60.0

 

次の

にそれぞれ当てはまるものを、下の①~⑦のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 

X の分散は、D の分散の

倍になる。

 

XY の共分散は、DY の共分散の

倍である。ただし、共分散は、2つの変量のそれぞれにおいて平均値からの偏差を求め、偏差の積の平均値として定義される。

 

XY の相関係数は、DY の相関係数の

倍である。
① -125 ② -1.80 ③ 1 ④ 1.80
⑤ 3.24 ⑥ 3.60 ⑦ 60.0  


 

 

(3) 58回のジャンプは29名の選手が2回ずつ行ったものである。1回目の X + Y (得点 X と得点 Y の和)の値に対するヒストグラムと2回目の X + Y の値に対するヒストグラムは図2の A・B のうちのいずれかである。また、1回目の X + Y の値に対する箱ひげ図と2回目の X + Y の値に対する箱ひげ図は図3の a ・ b のうちのいずれかである。ただし、1回目の X + Y の最小値は108.0であった。


 

次の

に当てはまるものを下の表の①~④のうちから一つ選べ。

 

1回目の X + Y の値について、ヒストグラムおよび箱ひげ図の組合せとして正しいものは、

である。

 

ヒストグラム A A B B
箱ひげ図 a b a b

 

次の

に当てはまるものを下の①~④のうちから一つ選べ。

 

図3から読み取れることとして正しいものは、

である。

 

① 1回目の X + Y の四分位範囲は、2回目の X + Y の四分位範囲より大きい。

 

② 1回目の X + Y の中央値は、2回目の X + Y の中央値より大きい。

 

③ 1回目の X + Y の最大値は、2回目の X + Y の最大値より小さい。

 

④ 1回目の X + Y の最小値は、2回目の X + Y の最小値より小さい。


 

 

(4) 58回のジャンプでは、斜面上の高さが異なる3つの地点がスタート位置として用いられた。これらを「高」、 「  」、 「 」と表し、スタート位置に応じて得点 X から得点 X' を次のように定める。

 

スタート位置が「高」のとき、X' = X

 

スタート位置が「 」のとき、X' = X + 3.8

 

スタート位置が「 」のとき、X' = X + 7.6

 

得点 X および X について、スター位置ごとに箱ひげ図を描いたものが図4である。

 

次の

に当てはまるものを下の①~⑤のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 

図4に関する記述として正しいものは、

である。

 

① X および X' の両方において、スタート位置が高いほど、中央値も大きくなっている。

 

② X ではスタート位置が高いほど中央値も大きくなっているのに対し、X' ではスタート位置によらず中央値が 66 以上 70未満の区間に入っている。

 

③ どのスタート位置の場合でも X の四分位範囲と X' の四分位範囲は等しい。

 

④ X および X' の両方において、スタート位置が高いほど第l四分位数が大きくなっている。

 

⑤ X および X' の両方において、スタート位置が高いほど第3四分位数が大きくなっている。

 


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