2017年大学入試センター試験問題

数学Ⅱ・数学B

数 学 Ⅱ ・ 数 学 B

第 1 問(配点30)

 

  

 

 

〔1〕 連立方程式

 

cos 2

+ cos 2

=

   ・・・・・・・・・・・・・・①

 

cos

cos

=

    ・・・・・・・・・・・・・・②

 

を考える。ただし、0 ≦

, 0 ≦

であり、

<

かつ

 

|cos

|≧| cos

|    ・・・・・・・・・・・・・・③

 

とする。 このとき cos

と cos

の値を求めよう。

 

2倍角の公式を用いると、①から

 

cos²

+ cos²

=

 

が得られる。また、②から、cos²

+ cos²

=

である。

 

したがって、条件③を用いると

cos²

=

・ cos²

=

 

である。よって、②と条件 0 ≦

, 0 ≦

,

<

から

 

cos

=

・ cos

=

である。

 

〔2〕 座標平面上に点A(0,

)をとり、関数

= log₂

のグラフ上に2点 B (

, log₂

)、C (

, log₂

)をとる。線分 AB を1:2 に内分する点が C であるとき、

,

の値を求めよう。

 

真数の条件により、

>

,

>

である。ただし、対数

b に対し、

を底といい、b を真数という。

 

線分 AB を1 : 2 に内分する点の座標は、

を用いて

 

, 

log₂

+

 

と表される。これが C の座標と一致するので

 

 

{

=

   ・・・・・・・・・・④

log₂

+

= log₂

   ・・・・・・・・・・・⑤

が成り立つ。

 

⑤は

 

   ・・・・・・・・・・・⑥

 

と変形できる。④と⑥を連立させた方程式を解いて

>

,

>

に注意すると

 

=

=

 

である。

 

また、Cの

座標log₂(

)の値を、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めると

である。

に当てはまるものを次の①~ⓑのうちから一つ選べ。

ただし、log₁₀2 = 0.3010,log₁₀3 = 0.4771,log₁₀ 7 = 0.8451とする。

① 0.3 ② 0.6 ③ 0.9 ④ 1.3
⑤ 1.6 ⑥ 1.9 ⑦ 2.3 ⑧ 2.6
⑨ 2.9 ⑩ 3.3 ⓐ 3.6 ⓑ 3.9

 


 

第 2 問 (配点30)

 

0 を原点とする座標平面上の放物線

=

² + 1 を C とし、点(

, 2

)を P とする。

 

(1) 点 P を通り、放物線 C に接する直線の方程式を求めよう。

 

C 上の点(

,

² + 1)における接線の方程式は

 

=



-

² +

 

である。この直線が Pを通るとすると、

は方程式

 

² -



+


-

= 0

 

を満たすから

=


-

,

である。よって、

のとき、P を通る C の接線は2本あり、それらの方程式は

 

= (


-

)

-


² +


   ・・・・・・・・・・①

=


である。

 

(2) (1)の方程式①で表される直線を

とする。

軸との交点を R (0,

とすると、

= -


² +


である。

> 0 となるのは、

<

<

のときであり、このとき、三角形 OPR の面積 S
S =


となる。

 

<

<

のとき、S の増減を調べると、 S

=

で最大値

をとることがわかる。

 

(3)

<

<

のとき、放物線 C と(2)の直線

および2直線

= 0 ,

=

で囲まれた図形の面積を T とすると

 

T =

³ -


² +

 

である。

- ≦

<

の範囲において、T

に当てはまるものを次の①~⑥のうちから一つ選べ。
減少する
極小値をとるが,極大値はとらない
増加する
極大値をとるが,極小値はとらない
一定である
極小値と極大値の両方をとる

 


 

 

第 3 問 (選択問題)(配点 20)

 

以下において考察する数列の項は、すべて実数であるとする。

 

(1) 等比数列 {


} の初項が 1、公比が 2 であるとき

₃ =

,

₁ +

₂ +

₃ =

である。

 

(2) {


} を初項

, 公比

の等比数列とする。

,

を実数(ただし

≠ 0 ) とし、 {


} の最初の3項が

₃ =

³   ・・・・・・・・・・①

 

₁ +

₂ +

₃ =

   ・・・・・・・・・・②

を満たすとする。このとき


=

   ・・・・・・・・・・③

 

である。さらに② ③を用いて

,

,

の満たす関係式を求めると

 


² + (

-

)

+

= 0   ・・・・・④
を得る。④を満たす実数

が存在するので


² +



-

² ≦ 0   ・・・・・⑤

である。

逆に、

,

が⑤を満たすとき ③,④を用いて

,

の値を求めることができる。

 

(3)

= 64,

= 336のとき、(2)の条件①,②を満たし、公比が1より大きい等比数列 {


} を考える。③,④を用いて {


} の公比

と初項

を求めると、

=

,

=

である。

 

{


} を用いて、数列 {


} を

(

= 1, 2, 3, ・・・)

 

と定める。このとき、


の一般項は


= (

+

)

である。


の初項から第

項までの和

は、

-

を計算することにより

 

=


であることがわかる。

 


 

第 4 問(選択問題)(配点20)

 

座標平面上に 点A (2 . 0)をとり、原点 0 を中心とする半径が 2 の円周上に点 B, C, D, E, F を、点 A, B, C, D, E, Fが順に正六角形の頂点となるようにとる。ただし、Bは第 1 象限にあるとする。

 

(1) 点Bの座標は(

,

),点 Dの座標は( -

, 0)である。

 

(2) 線分 BD の中点を M とし、直線 AM と直線 CD の交点を N とする。

を 求めよう。

 

は実数

,

を用いて、

=

+

,

=

+

と2通りに表すことができる。ここで

 

( =

)

( =

)

であるから

=

=

である。よって

= ( -

)

である。

 

(3) 線分 BF 上に点 P をとり、その

座標を

とする。 点 P から直線 CE に引いた垂線と、点 C から直線 EP に引いた垂線との交点を H とする。

= (

,

+

)
と表せることにより、H の座標を

を用いて表すと
(

,

)

である。

 

さらに、

のなす角を θ とする。 cosθ =

のとき、

の値は 

= ±

である。

 


 

第 5 問 (選択問題)(配点 20)

 

以下の問題を解答するにあたっては必要に応じて表ー1の正規分布表を用いてもよい。

 

(1) 1回の試行において、事象 A の起こる確率が P, 起こらない確率が 1 - P であるとする。この試行を

回繰り返すとき、事象 A の起こる回数を W とする。確率変数 W の平均(期待値)

, 標準偏差

であるとき、

=

,

=

である。

 

(2) (1)の反復試行において、W が38以上となる確率の近似値を求めよう。

 

いま

P ( W ≧ 38 = P (

,

)

 

と変形できる。ここで、Z =

とおき、Wの分布を正規分布で近似すると、正規分布から確率の近似値は次のように求められる。
P ( Z ≧ -

,

) = 0,

 

(3) 連続型確率変数 X のとり得る値

の範囲が

で、確率密度関数が

(

) のとき、X の平均 E (X)は次の式で与えられる。
E(X) =

(

)

 

を正の実数とする。連続型確率変数 X のとり得る値

の範囲が -

≦ で、確率密度関数が

 

 

であるとする。このとき、

X

となる確率は

である。また、X の平均は

である。さらに、Y = 2X + 7 とおくと、Y の平均は

+

である。

 

 


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