2017年大学入試センター試験問題

数学Ⅱ

数 学 Ⅱ

第 1 問(配点30)

 

  

 

 

〔1〕 連立方程式

 

cos 2

+ cos 2

=

   ・・・・・・・・・・・・・・①

 

cos

cos

=

    ・・・・・・・・・・・・・・②

 

を考える。ただし、0 ≦

, 0 ≦

であり、

<

かつ

 

|cos

|≧| cos

|    ・・・・・・・・・・・・・・③

 

とする。 このとき cos

と cos

の値を求めよう。

 

2倍角の公式を用いると、①から

 

cos²

+ cos²

=

 

が得られる。また、②から、cos²

+ cos²

=

である。

 

したがって、条件③を用いると

cos²

=

・ cos²

=

 

である。よって、②と条件 0 ≦

, 0 ≦

,

<

から

 

cos

=

・ cos

=

である。

 

〔2〕 座標平面上に点A(0,

)をとり、関数

= log₂

のグラフ上に2点 B (

, log₂

)、C (

, log₂

)をとる。線分 AB を1:2 に内分する点が C であるとき、

,

の値を求めよう。

 

真数の条件により、

>

,

>

である。ただし、対数

b に対し、

を底といい、b を真数という。

 

線分 AB を1 : 2 に内分する点の座標は、

を用いて

 

, 

log₂

+

 

と表される。これが C の座標と一致するので

 

 

{

=

   ・・・・・・・・・・④

log₂

+

= log₂

   ・・・・・・・・・・・⑤

が成り立つ。

 

⑤は

 

   ・・・・・・・・・・・⑥

 

と変形できる。④と⑥を連立させた方程式を解いて

>

,

>

に注意すると

 

=

=

 

である。

 

また、Cの

座標log₂(

)の値を、小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めると

である。

に当てはまるものを次の①~ⓑのうちから一つ選べ。

ただし、log₁₀2 = 0.3010,log₁₀3 = 0.4771,log₁₀ 7 = 0.8451とする。

① 0.3 ② 0.6 ③ 0.9 ④ 1.3
⑤ 1.6 ⑥ 1.9 ⑦ 2.3 ⑧ 2.6
⑨ 2.9 ⑩ 3.3 ⓐ 3.6 ⓑ 3.9

 


 

第 2 問 (配点30)

 

0 を原点とする座標平面上の放物線

=

² + 1 を C とし、点(

, 2

)を P とする。

 

(1) 点 P を通り、放物線 C に接する直線の方程式を求めよう。

 

C 上の点(

,

² + 1)における接線の方程式は

 

=



-

² +

 

である。この直線が Pを通るとすると、

は方程式

 

² -



+


-

= 0

 

を満たすから

=


-

,

である。よって、

のとき、P を通る C の接線は2本あり、それらの方程式は

 

= (


-

)

-


² +


   ・・・・・・・・・・①

=


である。

 

(2) (1)の方程式①で表される直線を

とする。

軸との交点を R (0,

とすると、

= -


² +


である。

> 0 となるのは、

<

<

のときであり、このとき、三角形 OPR の面積 S
S =


となる。

 

<

<

のとき、S の増減を調べると、 S

=

で最大値

をとることがわかる。

 

(3)

<

<

のとき、放物線 C と(2)の直線

および2直線

= 0 ,

=

で囲まれた図形の面積を T とすると

 

T =

³ -


² +

 

である。

- ≦

<

の範囲において、T

に当てはまるものを次の①~⑥のうちから一つ選べ。
減少する
極小値をとるが,極大値はとらない
増加する
極大値をとるが,極小値はとらない
一定である
極小値と極大値の両方をとる

 


 

第 3 問 (配点 20)

 

座標平面上に2点 A(0, 3), B(8. 9) をとる。

 

(1) 2点 A, B を通る直線の方程式は、

=


+

である。

 

(2) 線分ABの長さは

である。

 

(3) 線分ABを直径とする円 C の方程式は

(

-

)² + (

-

)² =

である。また、A における C の接線の方程式は

=


+

   ・・・・・・・・・・①

である。

 

(4) 三角形 ABP の面積が 20 である点 P の軌跡は、2直線

=


+

   ・・・・・・・・・・②

=


-

である。

 

(5) 直線①と直線②の交点の

座標は

であり、円 C と直線②の交点の

座標は

である。

 

(6) 三角形 ABP の面積が 20 であり、かつ三角形 ABP が直角三角形であるような点 P は全部で

個ある。

 


 

第 4 問 (配点 20)

 

(1) 4 次式 P(

) は、

⁴がの係数が 1 で、

² - 2

+ 3 で割り切れるとする。また、P(

)は、P(1) = 12,P(2) = 15 を満たすとする。P(

) を

² - 2

+ 3で割った商を S(

) =

² +


+

(

,

は実数)とおくと、S(1) =

, S(2) =

であるから、

=

,

=

である。方程式 S(

) = 0 の解は


である。

 

(2) 2次式 Q(

) =

² +


+

(

,

は実数)を考える。

を正の実数として、

=

+

とする。方程式 Q(

) = 0 は複素数

を解にもつとする。
Q(

) の

を代入すると
Q(

) =

+

²

+


+

+ (

+

)

 

となる。

,

を用いて表すと、

=

,

=

である。

 

二項定理から、

の4乗は

⁴ =

+


となる。

,

に当てはまるものを、次の①~ⓑのうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを選んでもよい。

 

相加平均と相乗平均の関係から、

> 0 の範囲を動くとき、

⁴の実部

=

で最小値

をとり、そのとき、

=

,

=

である。

 


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