2017年大学入試センター試験問題

数学Ⅰ・数学A

数 学 Ⅰ ・ 数 学 A

第 1 問(配点30)

 

  

 

 

〔1〕

は正の実数で

² +

= 9を満たすとする。このとき

 

 

であるから、

である。さらに

 

 

である。また

 

 

である。

 

〔2〕 実数

に関する2つの条件

,

 

= 1

² = 1

 

とする。また、条件

 

の否定をそれぞれ

 

で表す。

 

(1) 次の

に当てはまるものを、下の①~④のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 

であるための

 

であるための

 

(

または

)は

であるための

 

(

かつ

)は

であるための

 

① 必要条件だが十分条件でない

 

② 十分条件だが必要条件でない

 

③ 必要十分条件である

 

④ 必要条件でも十分条件でもない


 

 

(2) 実数

に関する条件

 

> 0

 

とする。次の

に当てはまるものを下の①~⑧のうちから一つ選べ。

 

3つの命題

 

A : 「 (

かつ

) ⇒

 

B : 「

 

C : 「

 

の真偽について正しいものは

である。

 

① Aは真, Bは真, Cは真

 

② Aは真, Bは真, Cは偽

 

③ Aは真, Bは偽, Cは真

 

④ Aは真, Bは偽, Cは偽

 

⑤ Aは偽, Bは真, Cは真

 

⑥ Aは偽, Bは真, Cは偽

 

⑦ Aは偽, Bは偽, Cは真

 

⑧ Aは偽, Bは偽, Cは偽


 

 

〔3〕

は定数とし、

) =

² - 2(3

² + 5

+ 18

⁴ + 30

³ + 49

² + 16 とおく。2次関数

=

)のグラフの頂点は

 


² +

,

⁴ +

² +

 

である。

が実数全体を動くとき、頂点の

座標の最小値は

である。次に、

=

² とおくと、頂点の

座標は

 

² +

+

 

と表せる。したがって、

が実数全体を動くとき、頂点の

座標の最小値は

である。


 

 

第 2 問 (配点 30)

 

〔1〕△ABCにおいて

とする。

 

(1)

であるから、△ABCの外接円の半径は

であり

 

 

である。ただし、

の解答の順序は問わない。

 

(2) 辺AC上に点Dを△ABDの面積が

になるようにとるとき

 

 

であるから、

である。

 

 

〔2〕 スキージャンプは、飛距離および空中姿勢の美しさを競う競技である。選手は斜面を滑り降り、斜面の端から空中に飛び出す。飛距離 D (単位はm)から得点 X が決まり、空中姿勢から得点 Y が決まる。ある大会における58回のジャンプについて考える。

 

(1) 得点 X 得点 Y および飛び出すときの速度 V (単位はkm/h)について、図1の3つの散布図を得た。

 

次の

に当てはまるものを下の①~⑦のうちから一つずつ選べ。 ただし、解答の順序は問わない。

 

図1から読み取れることとして正しいものは、

である。

 

① XV の間の相関は、XY の間の相関より強い。

 

② XY の間には正の相関がある。

 

③ V が最大のジャンプは、X も最大である。

 

④ V が最大のジャンプは、Y も最大である。

 

⑤ Y が最小のジャンプは、X は最小ではない。

 

⑥ X が80以上のジャンプは、すべて V が93以上である。

 

⑦ Y が55以上かつ V が94以上のジャンプはない。

 


 

(2) 得点 X は、飛距離 D から次の計算式によって算出される。

 

X = 1.80 × (D - 125.0) + 60.0

 

次の

にそれぞれ当てはまるものを、下の①~⑦のうちから一つずつ選べ。ただし、同じものを繰り返し選んでもよい。

 

X の分散は、D の分散の

倍になる。

 

XY の共分散は、DY の共分散の

倍である。ただし、共分散は、2つの変量のそれぞれにおいて平均値からの偏差を求め、偏差の積の平均値として定義される。

 

XY の相関係数は、DY の相関係数の

倍である。
① -125 ② -1.80 ③ 1 ④ 1.80
⑤ 3.24 ⑥ 3.60 ⑦ 60.0  

 

(3) 58回のジャンプは29名の選手が2回ずつ行ったものである。1回目の X + Y (得点 X と得点 Y の和)の値に対するヒストグラムと2回目の X + Y の値に対するヒストグラムは図2の A・B のうちのいずれかである。また、1回目の X + Y の値に対する箱ひげ図と2回目の X + Y の値に対する箱ひげ図は図3の a ・ b のうちのいずれかである。ただし、1回目の X + Y の最小値は108.0であった。

 

次の

に当てはまるものを下の表の①~④のうちから一つ選べ。

 

1回目の X + Y の値について、ヒストグラムおよび箱ひげ図の組合せとして正しいものは、

である。

 

ヒストグラム A A B B
箱ひげ図 a b a b

 

次の

に当てはまるものを下の①~④のうちから一つ選べ。

 

図3から読み取れることとして正しいものは、

である。

 

① 1回目の X + Y の四分位範囲は、2回目の X + Y の四分位範囲より大きい。

 

② 1回目の X + Y の中央値は、2回目の X + Y の中央値より大きい。

 

③ 1回目の X + Y の最大値は、2回目の X + Y の最大値より小さい。

 

④ 1回目の X + Y の最小値は、2回目の X + Y の最小値より小さい。


 

第 3 問 (選択問題)(配点 20)

 

あたりが 2 本はずれが 2 本の合計 4 本からなるくじがある。A, B, C の 3人がこの順に1本ずつくじを引く。ただし、1度引いたくじはもとに戻さない。

 

(1) A・Bの少なくとも一方があたりのくじを引く事象 E₁ の確率は、

 

である。

 


 

(2) 次の

に当てはまるものを下の①~⑥のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 

A・B・Cの3人で2本のあたりのくじを引く事象 E は、3つの排反な事象

の和事象である。

 

① A がはずれのくじを引く事象

 

② A だけがはずれのくじを引く事象

 

③ Bがはずれのくじを引く事象

 

④ Bだけがはずれのくじを引く事象

 

⑤ Cがはずれのくじを引く事象

 

⑥ Cだけがはずれのくじを引く事象

 

また、その和事象の確率は

である。

 


 

(3) 事象 E が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率は、

である。

 


 

(4) 次の

に当てはまるものを下の①~⑥のうちから一つずつ選べ。ただし、解答の順序は問わない。

 

B・Cの少なくとも一方があたりのくじを引く事象 E₂ は、3つの排反な事象

の和事象である。

 

① Aがはずれのくじを引く事象

 

② Aだけがはずれのくじを引く事象

 

③ Bがはずれのくじを引く事象

 

④ Bだけがはずれのくじを引く事象

 

⑤ Cがはずれのくじを引く事象

 

⑥ Cだけがはずれのくじを引く事象

 

また、その和事象の確率は

である。他方、A・Cの少なくとも

 

一方があたりのくじをひく事象 E₃ の確率は

である。

 


 

(5) 次の

に当てはまるものを、下の①~⑦のうちから一つ選べ。事象 E₁ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率

₁. 事象 E₂ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率

₂. 事象 E₃ が起こったときの事象 E の起こる条件付き確率

₃ の間の大小関係は、

である。

₁ <

₂ <

₁ >

₂ >

₁ <

₂ =

₁ >

₂ =

₁ =

₂ <

₁ =

₂ >

₁ =

₂ =

 


 

第 4 問 (選択問題)(配点 20)

 

(1) 百の位の数が3、十の位の数が7、ーの位の数が

である3けたの自然数を 37

と表記する。37

が4で割り切れるのは

 

=

 

のときである。ただし、

の解答の順序は問わない。

 


 

(2) 千の位の数が 7、百の位の数が b、十の位の数が 5、ーの位の数が c である4桁の自然数を 7b5c と表記する。 7b5c が 4 でも 9 でも割り切れる bc の組は、全部で

個ある。これらのうち 7b5c の値が最小になるのは b =

c =

のときで、 7b5c の値が最大になるのは b =

c =

のときである。また, 7b5c = (6 X

)² となる b,c と自然数

 

b =

c =

=

 

である。

 


 

(3) 1188の正の約数は全部で

個ある。

 

これらのうち、2の倍数は

個 4の倍数は

個ある。

 

1188のすべての正の約数の積を2進法で表すと、末尾には 0 が連続して

個並ぶ。

 


 

第 5 問 (選択問題)(配点 20)

 

△ABC において,AB= 3 , BC = 8 , AC = 7 とする。

 

(1) 辺 AC 上に点 Dを AD= 3 となるようにとり、△ABD の外接円と直線 BC の交点で B と異なるものを E とする。
このとき、BC・CE =

であるから

 

CE =

である。

 

直線 AB と直線 DE の交点を F とするとき

であるから、

 

である。

 


 

(2) ∠ABC =

である。

 

△ABCの内接円の半径は

 

であり、△ABCの内心をⅠとするとBI =

である。


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